[인과추론] Difference-in-Difference
DID 방법론에 대해 알아보자.
ATT
이전에 ATE를 위해 가정했던 것과는 다르게
$$Y(0) \perp T$$
이것만 가정하면 (ATE보다 약한 가정) 우리는 average treatment effect on the treated (ATT)를 구할 수 있다.
- ATT
$$E[Y(1)-Y(0)|T=1]$$
$$E[Y(1)-Y(0)|T=1] = E[Y(1)|T=1] - E[Y(0)|T=1] \\ = E[Y|T=1] - E[Y(0)|T=1] \\ = E[Y|T=1] - E[Y(0)|T=0] \\ = E[Y|T=1] - E[Y|T=0]$$
Introducing Time
지금부터는 time(시간)을 추가해서 고민해보자. 지금까지 동일하게 treatment, control group이 있다. 특정 시간 이후에 treatment group에게만 treatment가 행해진다. 특정 시간 ($\tau$)에서 treatment $t$가 행해진 potential outcome을 나타나는 random variable은 $Y_{\tau}(t)$로 표시하자. 시간을 고려하면서 우리가 알고 싶은 것은 treatment group에 treatment가 적용된 causal estimand이다 :
$$E[Y_1 (1) - Y_1 (0) | T=1]$$
이제 이 값을 identification하고 estimation하는 방법까지 알아보자.
Identification
Assumptions
- Consistency (extended to Time)
$$\forall \tau , ; T=t \Rightarrow Y_{\tau} = Y_{\tau}(t)$$
consistency 가정으로 causal estimand $E[T_{\tau}(1)|T=1]$와 statistical estimand $E[T_{\tau}|T=1]$가 같다고 할 수 있다.
- Parallel Trends
- treatment group이 treatment를 받지 않았을 때, 시간에 따른 trend가 control group과 같다
- 해당하는 assumption이 있어야 treat를 받지 않은 treatment의 값(counterfactual)을 알 수 있다.
$$E[Y_1 (0) - Y_0 (0) | T=1] = E[Y_1 (0) - Y_0 (0)|T=0]$$ $$(Y_1(0) - Y_0(0)) \perp T$$
- No Pretreatment Effect
- treatment가 이행되기 전에는 treatment group에 영향을 주지 않는다
$$E[Y_0 (1) - Y_0 (0) | T=1] = 0$$
Result and Proof
- DID identification
- Given consistency, parallel trends, and no pretreatment effect, we have the following:
$$E[Y_1 (1) - Y_1 (0) | T=1] \\ = (E[Y_1|T=1]-E[Y_0 | T=1]) - (E[Y_1|T=0] - E[Y_0|T=0])$$
- (proof)
$$E[Y_1 (1) - Y_1 (0) | T=1] = E[Y_1 (1) | T=1] - E[Y_1 (0) | T=1] \\ =E[Y_1 | T=1] - E[Y_1 (0) | T=1] \; \text{(consistency)}$$
위의 식에서 두 번째 항 $E[Y_1 (0) | T=1]$은 counterfactual이고 이를 알 수 없지만 parallel trends assumption으로 구할 수 있다.
$$E[Y_1 (0) | T=1] = E[Y_0 (0) | T=1] + E[Y_1 (0)|T=0] - E[Y_0 (0) | T=0]$$
consistency를 이용하면
$$= E[Y_0 (0) | T=1] + E[Y_1 |T=0] - E[Y_0 | T=0] $$
그런데 정리한 식에서도 counterfactual이 존재한다. 이제 pretreatment effect assumption을 이용하면
$$=E[Y_0 (1) | T=1] + E[Y_1 |T=0] - E[Y_0 | T=0]$$
다시 consistency를 이용하면
$$=E[Y_0 | T=1] + E[Y_1 |T=0] - E[Y_0 | T=0]$$
드디어 $E[Y_1 (0) | T=1]$를 identify했다. 이제 식을 정리하면 최종 결과가 나온다.
Problem
parallel trends assumption이 깨질 수 있다. confounder때문이라면 controlled parallel trends assumption으로 어느 정도 해결 할 수 있다.
- Controlled Parallel Trends
$$E[Y_1(0) - Y_0(0)|T=1,W] = E[Y_1(0)-Y_0(0)|T=0,W]$$
그런데 만약 시간과 treatment 사이에 interaction이 있다면 parallel trends를 기대하기 어렵다. 또한 parallel trends assumption은 scale-specific하다. parallel trends가 성립해도 $Y$를 변환시킨다면 trends가 유지된다고 할 수 없다는 의미이다. (parallel trends assumptions isn’t nonparametric)