[인과추론] Randomized Experiments and Identification

2021-12-03 825 words 4 minutes

Contents

Randomized Experiment에 대해 알아보고 causal effect를 identification하는 방법에 대해 알아보자.

Randomized Experiment

언제나 우리가 관측하지 못한 confounder가 있다. 이를 conditioning하지 못할 것이다. 따라서 RCT (Randomized control trial)이 아주 강력한 것이다. 기업에서 많이들 A/B test를 하는데 이게 RCT이다. treatment, control group을 random하게 나누는 것이다. RCT를 통해 association이 causation이 되는데 이를 각기 다른 3가지 측면에서 살펴보자.

Comparability and covariate balance

먼저 covariate balance란 두 그룹의 distribution of covariates $X$가 같다는 것을 의미한다.

$$P(X|T=1) = P(X|T=0)$$

Randomization implies covariate balance
- treatment를 random하게 적용하기 때문에 covariate $X$들과 독립이다. 이 때 covariate들이 observed or unobserved 인지 상관없이 독립적이다.

$$P(X|T=1) = P(X|T=0) = P(X)$$

Covariate balance implies association is causation

$$P(y|do(t)) = \sum_x P(y|t,x)P(x) \\ = \sum_x \frac{P(y|t,x)P(t|x)P(x)}{P(t|x)}\ = \sum_x \frac{P(y,t,x)}{P(t|x)} \\ = \sum_x \frac{P(y,t,x)}{P(t)} \\ = \sum_x P(y,x|t)\ =P(y|t)$$

Exchangeability

RCT를 exchangeability의 측면에서 살펴보자. RCT를 하면 exchangeability가 성립할 수 밖에 없다. 동전을 던져서 treatment를 할지 말지 결정하기 때문에 당연히 아래의 식이 성립하고 association이 causation이 되는 것이다.

$$E[Y(1)|T=1] = E[Y(1)|T=0] \ E[Y(0)|T=0] = E[Y(0)|T=1]$$

$$E[Y(1)]-E[Y(0)] = E[Y(1)|T=1] - E[Y(0)|T=0] \\ =E[Y|T=1] = E[Y|T=0]$$

No backdoor paths

graphical causal model에서도 RCT를 통해 association이 causation이 된다. $T$의 incoming edges가 사라지기 때문이다. 따라서 backdoor path들도 사라지고 association이 causal이 되는 것이다.

Frontdoor adjustment

아래의 그림처럼 $W$가 unobserved인 경우 backdoor path를 막을 수 없고 따라서 causal association도 구할 수 없게 된다. 그러면 어떻게 할까? Frontdoor adjustment!

위의 그림에서 mediator $M$에 집중하면 된다. 과정은 아래와 같다.

Identify the causal effect of $T$ on $M$
Identify the causal effect of $M$ on $Y$
Combine the above steps to identify the causal effect of $T$ on $Y$

step1에서 $Y$는 $T-M$ path through $W$에 대해 collider이고 이는 backdoor path를 막아준다. 따라서 우리는 아래와 같은 identification이 성립함을 알 수 있다.

$$P(m|do(t)) = P(m|t)$$

step2에서 $T$를 conditioning하면 backdoor path $M \leftarrow T \leftarrow W \rightarrow Y$를 막을 수 있다.

$$P(y|do(m)) = \sum_t P(y|m,t)P(t)$$

이제 위에서 알게된 내용을 합쳐서 $T$의 변화가 $Y$를 얼마나 변하게 하는지 알 수 있게 된다.

$$P(y|do(t))=\sum_m P(m|do(t))P(y|do(m))$$

(proof)

위의 사진으로 진행한다. truncated factorization으로

$$P(w,m,y|do(t))=P(w)P(m|t)P(y|w,m)$$

$w,m$에 대해 marginalize하면

그런데 우항에 unobserved $w$가 있기에 marginalization을 진행할 수 없다. 따라서 우리는 $w$를 식에서 없애는 작업이 필요할 것이다.

그림에서 $T$가 주어진다면 $P(w|t)=P(w|t,m)$이므로

$$P(y|do(t)) = \sum_m P(m|t) \sum_w P(w)P(y|w,m) \\ = \sum_m P(m|t) \sum_w P(y|w,m)\sum_{t’}P(w|t’)P(t’) \\ = \sum_m P(m|t) \sum_w P(y|w,m)\sum_{t’}P(w|t’,m)P(t’) \\ = \sum_m P(m|t) \sum_{t’}P(t’) \sum_w P(y|w,m)P(w|t’,m) \\ = \sum_m P(m|t) \sum_{t’}P(t’) \sum_w P(y|w,m,t’)P(w|t’,m) \\ = \sum_m P(m|t) \sum_{t’}P(t’) \sum_w P(y,w|m,t’) \\ =\sum_m P(m|t) \sum_{t’}P(t’)P(y|m,t’)$$

Frontdoor Criterion

아래의 조건이 사실이면 set of variables $M$들이 $T,Y$에 대해 the frontdoor criterion을 만족한다.
- $M$ completely mediates the effect of $T$ on $Y$ (all causal paths from $T$ to $Y$ go through $M$)
- There is no unblocked backdoor path from $T$ to $M$
- All backdoor paths from $M$ to $Y$ are blocked by $T$

Frontdoor Adjustment

만약 $(T,M,Y)$이 the frontdoor criterion을 만족하고 positivity를 만족하면

$$P(y|do(t))=\sum_m P(m|t) \sum_{t’}P(y|m,t’)P(t’)$$

Pearl’s do-calculus

backdoor adjustment가 성립하지 않더라도 frondoor adjustment라는 방법을 통해 identification이 성립할 수 있음을 알게되었다. 그렇다면 둘다 성립하지 않을 때는 어떻게 해야할까? do-calculus ! do-calculus는 causal graph에 녹아있는 any causal assumptions을 사용하여 causal effects를 identify할 수 있는 tool을 제공한다.

notation
- $G$ : causal graph
- $G_{\overline{X}}$ : the graph that remove all of the incoming edges to nodes in the set $X$
- $G_{\underline{X}}$ : the graph that remove all of the outgoing edges to nodes in the set $X$

Rules of do-calculus

Given a causal graph $G$, an associated distribution $P$, and disjoint sets of vairables $Y,T,Z,W$ the following rules hold:

Rule1 : if $Y \perp_{G_{\overline{T}}} Z | T,W$

$$P(y|do(t),z,w)=P(y|do(t),w)$$

Rule2 : if $Y \perp_{G_{\overline{T}, \underline{Z}}} Z | T,W$

$$P(y|do(t),do(z),w) = P(y|do(t),z,w)$$

Rule3 : if $Y \perp_{G_{\overline{T}, \overline{Z(W)}}} Z | T,W$
- $Z(W)$ : the set of nodes of $Z$ that aren’t ancestors of any node of $W$ in $G_{\overline{T}}$

$$P(y|do(t),do(z),w) = P(y|do(t),w)$$

위의 rule들을 좀 더 쉽게 이해하기위해 $T$에 해당하는 부분을 없애면 각각은 generalization of

d-seperation
- if $Y \perp_G Z | T,W$

$$P(y|z,w)=P(y|w)$$

backdoor adjustment/criterion
- if $Y \perp_{G_{\underline{Z}}} Z | T,W$

$$P(y|do(z),w) = P(y|z,w)$$

$Z(W)$ 가정이 없으면 collider 때문에 문제발생
- if $Y \perp_{G_{\overline{Z(W)}}} Z | T,W$

$$P(y|do(z),w) = P(y|w)$$

이에 대한 증명은 ‘Pearl (1995) Causal diagrams for empirical research’를 읽어보면 될 것이다. 그렇다면 do-calculs만 있으면 causal estimands들이 무조건 identifiable할 수 있을까? 2000년대에 나온 논문들이 이를 증명했다고 한다. 즉, 위의 3가지 rule들이 sufficient to identify all identifiable causal estimands라는 것을 의미한다.

위의 identification은 nonparametric identification에 속한다. 추후에 parametric identification에 대해서도 살펴볼 것이다.

Determining identifiability from the graph

이 부분은 잘 모르겠다.

Unconfounded children criterion

This criterion is satisfied if it is possible to block all backdoor paths from the treatment variable $T$ to all of its children that are ancestors of $Y$ with a single conditioning set (Tian & Pearl, 2002)
Sufficient condition for identifiability when $T$ is a single variable

Necessary condition for identifiability

For each backdoor path from $T$ to any child $M$ of $T$ that is an ancestor of $Y$, it is possible to block that path.

Necessary and sufficient condition

Shpitser & Pearl, 2006a, 2006b: hedge criterion

Reference

Brady Neal - Causal Inference