[인과추론] Causal Models
Causal Model이란?
Causal Estimand를 구하기 위해서 우리는 결국 Statistical Estimand를 Estimate해야한다. 이 때 Causal Estimand를 Statistical Estimand로 만들어주는 것이 Causal Model이 하는 일이다.
do-operator
- Conditioing vs intervening
- Conditioning이라함은 population에서 subpopulation을 뽑아서 다루는 것이고
- Intervening이라함은 특정한 treatment를 population에 행하는 것이다. 특정 subpopulation을 고려하지 않는다.
특정한 intervening을 했다는 것을 나타내는 operator가 $do$-operator이다. 이는 이전에 potential outcome framework에서 사용한 정의와도 연결되어 있다.
$$P(Y(t)=y) = P(Y=y|do(T=t)) = P(y|do(t))$$
- $P(Y|do(T=t))$처럼 $do$-operator가 있으면 Interventional distibutions이라고 한다.
- Interventional data는 주로 실험(experiment)이 필요한 경우가 많다. 이전에 배운 Identifiability가 $P(y | do(t))$를 $P(y|t)$로 구하는 것을 의미했다. (confounder가 있다면 $E_X [P(y|t,X)]$)
Modularity
어떤 causal mechanism에 대한 정의는 다양할 수 있지만 여기서는 $X_i$가 발생하는 causal mechanism은 conditional distribution $P(X_i |pa_i)$라고 할 것이다.
causal identification을 얻기 위해서 지금 정의할 가정은 invervention이 local하다는 것이다. 이를 Modularity라고 한다.
Modularity assumption
- If we intervene on a node $X_i$, then only the mechanism $P(x_i|pa_i)$ changes. All other mechanisms $P(x_j | pa_j)$ where $i \neq j$ remain unchanged.
- = independent mechanism, autonomy, invariance, etc
Modularity assumption (formal)
- If we intervene on a set of nodes $S \in [1,2,…,n]$, setting them to constants, then for all $i$, we have the following:
-
- If $i \notin S$, then $P(x_i | pa_i)$ remains unchanged.
-
- If $i \in S$, then $P(x_i | pa_i)=1$ if $x_i$ is the value that $X_i$ was set to by the intervention; otherwise $P(x_i | pa_i)=0$.
-
interventional distribution이 있는 causal graph는 일반적인 observational graph와 동일한 모습이다. 다만 intervened node로 향하는 edge들은 다 지워진다. intervened node는 parent가 없어지는 것이다. 이는 위의 modularity assumption에 의해 intervened node가 발생할 확률이 1이기 때문이다. 다른 시각으로는 intervention하여서 해당 node가 constant이므로 parent들의 영향이 없어진 것으로 바라볼 수도 있다.
Truncated factorization
- under Markov, modularity assumption
- a set of intervention nodes $S$
$$P(x_1 ,…, x_n | do(S=s)) = \prod_{i \notin S} P(x_i | pa_i)$$
if $x$ is consistent with the intervention (= if $x_i$ is the value that $X_i$ was set to by the intervention). Otherwise
$$P(x_1,…,x_n | do(S=s))=0$$
예시를 통해 더 잘 이해해보자.
identification via truncated factorizartion
- Goal: identify $P(y|do(t))$
- graph: $T \leftarrow X \rightarrow Y, T\rightarrow Y$
위의 상황에서
- Bayesian network factorization: $$P(y,t,x)=P(x)P(t|x)P(y|t,x)$$
- Truncated factorization: $$P(y,x|do(t))=P(x)P(y|t,x)$$
- Marginalize: $$P(y|do(t))=\sum_x P(y|t,x)P(x)$$
Backdoor adjustment
direct path를 통한 causal flow가 아닌 non-causal association flow가 지나는 모든 path를 backdoor path라고 한다. 이들을 잘 block하면 우리가 구하고 싶은 $P(y|do(t))$를 구할 수 있는 것이다. treatment를 intervention(experiment)할 수 있다면 backdoor path는 사라진다. treatment로 향하는 edge가 다 사라지기 떄문이다. 하지만 observation의 경우는 그럴 수가 없다. 이런 경우 어떻게 할 수 있을까? 이전에 배운대로 conditioning하면 된다.
Backdoor Criterion
- A set of variables $W$ satisfies the backdoor criterion relative to $T$ and $Y$ if the following are true:
- $W$ blocks all backdoor paths from $T$ to $Y$
- $W$ does not contain any descendants of $T$
Backdoor Adjustment
- under modularity assumtion, $W$가 backdoor criterion을 만족하고 positivity가 성립하면 causal effect $T$ on $Y$를 identify할 수 있다:
$$P(y|do(t)) =\sum_w P(y|t,w)P(w)$$
- (proof)
- graph: $T \leftarrow W \rightarrow Y, T \rightarrow Y$
- $W$가 backdoor criterion을 만족한다고 가정
- 아래 수식에서 두번째 줄은 $W$를 conditioning해서 $T$에서 $Y$로 가는 path만 남기 때문이다.
- 아래 수식에서 세번째 줄은 $Y$가 collider가 되기 때문이다.
$$P(y|do(t)) = \sum_w P(y|do(t),w)P(w|do(t)) \\ =\sum_w P(y|t,w)P(w|do(t)) \\ =\sum_w P(y|t,w)P(w)$$
$do(t)$해서 $T$로 들어오는 edge를 없애서 Backdoor path를 막을 수 있지만 observation data에서는 다른 변수들을 conditioning하는 것이다.
Structural causal models
- structural equation for A as a cause of B:
$$B := f(A)$$
이러한 structural equation은 causal mechanism을 나타낸다. 위의 수식에 unobserved variable $U$을 추가하면
$$B := f(A,U)$$
$f$에 대해서 특정한 모델로 정의하지 않으면 비모수(nonparametric)적인 함수가 될 것이다. 또한 $f$가 deterministic하더라도 $U$가 있기 때문에 stochastic한 mapping을 할 수 있다.
위의 그림에서 structual equation:
$$B:=f_B(A,U_B) \\ C:=f_C(A,B,U_C) \\ D:=f_D(A,C,U_D)$$
여기서 known variable을 endogenous variable, unknown variable을 exogenous variable이라고 한다. 그렇다면 이제 SCM의 정의를 알아보자.
- SCM
- A structural causal model is a tuple of the following sets:
- A set of endogenous variables $V$
- A set of exogenous variables $U$
- A set of functions $f$
- A structural causal model is a tuple of the following sets:
condition on descendants of treatment
- 첫번째 그림
- $Z$가 collider 이기 때문에 conditioning 하지 말자.
- 두번째 그림
- $M$의 descendant도 conditioning하면 하지말자. 왜냐하면 우리가 모르는 $U_M$이 존재하는 경우 $M$도 collider가 되기 때문이다.
따라서 결론은 Don’t conditionon post-treatment covariates! 물론 pre-treatment를 항상 conditioning해서도 안된다. M-bias라는 것이 존재하기 때문이다. 아래의 사진처럼 우리가 모르는 $Z_1,Z_3$가 존재하는 경우 $Z_2$를 conditioning하면 backdoor-path가 생겨버린다.
